线段的垂直平分线教案

线段的垂直平分线教案

作为一名默默奉献的教育工作者，常常需要准备教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。教案要怎么写呢？以下是小编为大家整理的线段的垂直平分线教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理. 定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据;逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据.

本节内容的难点是定理及逆定理的关系. 垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反. 学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点.

2、 教法建议

本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式. 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人. 具体说明如下：

(1)参与探索发现，领略知识形成过程

学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系?学生会很容易得出“相等”. 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结. 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会.

(2)采用“类比”的学习方法，获取逆定理

线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.

(3) 通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.

一．教学时间

xxxx年12月10日

二．教学班级：初二（6）班

三．教学目的

1．给学生复习线段垂直平分线的定义和作法。

2．给学生复习点与点之间的距离，是指线段的长而不是线段。

3．教会学生线段垂直平分线的定理和逆定理的推导方法。

4．让学生充分理解线段垂直平分线的定理和逆定理并能熟练背诵。

5．通过多种练习，让学生学会熟练运用线段垂直平分线的定理和逆定理。

6．让学生明确线段垂直平分线的联系与区别。

过程与方法（流程图）

（１）提出问题（２）讨论问题（３）解决问题

情感态度价值观

１．通过对旧知识的回顾和运用，让学生明白，平时应经常复习和巩固旧知识，做到温故而知新．

２．在学生得出结论的同时让学生证明，可以让他们明白任何结论都必须有科学依据，又激发了学生的求知欲和探究欲．

３．让学生自己用语言来描述定理和逆定理时，检验了他们的语言表达能力，使他们明白学科之间是相通的．

４．在整个学习过程中，学生会深刻体会团体合作的重要性和竞争的快乐．

四．教学过程

（一）．画线段AB，画AB的垂直平分线MN，MN上任意取一点P，连结PA、PB，则PA、PB的长是点P和AB两个端点A点和B点的距离。

教师提问：PA、PB在长度上有怎样的关系？怎样证明？

学生回答：PA=PB

已知：MN是AB的垂直平分线

求证：PA=PB

证明：∵MN是AB的垂直平分线（已知）

∴∠PCA=∠PCB=90?

AC=BC（垂直平分线的定义）

在△PCA和△PCB中

AC=BC(已证)

∠PCA=∠PCB(已证)

PC=PC(公共边)

∴△PCA≌△PCB(S.A.S)

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

定理:

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

∵MN是AB的垂直平分线

∴PA=PB

（二）．画线段AB和点Q，连结QA、QB，使QA=QB。

教师提问：点Q在怎样的一条线上?

学生回答：AB的垂直平分线上

已知：QA=QB

求证：Q在AB的垂直平分线上

证明:

过Q作直线MN⊥AB

,垂足为C

∵QA=QB(已知)

∴AC=BC(等腰三角形的三线合一)

∴MN是AB的垂直平分线(垂直平分线的定义)

∴Q在AB的垂直平分线上

逆定理:

和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

∵QA=QB

∴Q在AB的垂直平分线上

（三）．试一试

1.如图,在△ABC中,∠C=90?,ＭＮ是ＡＢ的中垂线.

(1)如果MB=10cm,那么MA=_______.

(2)如果∠A=35?,那么∠1=

(3)如果△MCB的周长为30cm,那么AC+BC=_______.

2.如图，△ABC中，∠C=90?,D为AB的中点，D在线段_________的垂直平分线上。

（四）．例1.已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分线,OA=OC.

求证:点O在BC的垂直平分线上.

证明:连结BO

∵ON是AB的垂直平分线(已知)

∴OA=OB(线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等)

∵OA=OC(已知)

∴OB=OC(等量代换)

∴点O在BC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的线段的垂直平分线上)

（五）．练习

1.作图

(1)在直线MN上找出一点P,使PA=PB.

(2)找一点P,使它到A｀B｀C三点的距离相等．

∴点Ｐ就是所要求作的点．

２．已知：如图，Ｄ是ＢＣ延长线上的一点，ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＣ

求证 ……此处隐藏827个字……的动作思维、形象思维和抽象思维能力。

教学重点：

性质定理及逆定理的引入证明及运用。

教学难点：

性质定理及逆定理的关系。

教学关键：

1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。

2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条上。

教具：投影仪及投影胶片。

教学过程：

一、提问

1、角平分线的性质定理及逆定理是什么？

2、怎样做一条？

二、新课

1、请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF（请一名同学在黑板上做）。

2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=？，PB=？引导学生观察这两个值有什么关系？

通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P＇试一试仍然有P＇A=P＇B，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题（用幻灯展示）。

定理：上的点和这条线段的两个端点的距离相等。

这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。

已知：如图，直线EF⊥AB，垂足为C，且AC=CB，点P在EF上

求证：PA=PB

如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPCA≌RTΔPCB

证明：∵PC⊥AB（已知）

∴∠PCA=∠PCB（垂直的定义）

在ΔPCA和ΔPCB中

∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）

即：PA=PB（全等三角形的对应边相等）。

反过来，如果PA=PB，P1A=P1B，点P，P1在什么线上？

过P，P1做直线EF交AB于C，可证明ΔPAP1≌PBP1（SSS）

∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线

∴EF是AB的垂直平分线（等腰三角形三线合一性质）

∴P，P1在AB的垂直平分线上，于是得出上述定理的逆定理（启发学生叙述）（用幻灯展示）。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条上。

根据上述定理和逆定理可以知道：直线MN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。

可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

三、举例（用幻灯展示）

例：已知，如图ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：PA=PB=PC。

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB

同理PB=PC

∴PA=PB=PC

由例题PA=PC知点P在AC的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。

四、小结

正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在上。

五、练习与作业

练习：第87页1、2

作业：第95页2、3、4

线段的垂直平分线（第一课时）

教学目标：

1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。

2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

教学重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

教学难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。

教学过程：我们曾利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离睛等，你能证明这一结论吗？

一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。

2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：这样一个结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别人吗?

3．给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。学生可以讨论交流不同的方法。提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC

∴△PCA≌△PCB（SAS）

∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）

想一想，你能写出上面这个定理的逆合题吗？

它是真命题吗？如果是请证明．

线段的垂直平分线（第二课时）

教学目标：

1．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。

2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。

教学重点：作已知线段的垂直平分线。

教学难点：理解三线共点的证明方法。

教学过程：

引入：

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

证明：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，连接AP、BP、CP，

∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

同理：PB=PC

∴PA=PC

∴点P在AC的垂直平分线上

（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P。

议一议：1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

做一做：

已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、b

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h